Ejemplo D. Geometrica

La función de distribución se puede explicar con este Ejemplo Analítico:

 Un jugador de baloncesto se dispone a tirar hasta anotar una canasta. Sí se supone que sus tiros

son independientes y la probabilidad de anotar una canasta es de 0.8.

¿Cual es la probabilidad de necesitar efectuar dos tiros?, ¿tres tiros?, ¿cuatro tiros?, ¿cinco tiros?, ¿n tiros?.

Solución:
Sea Y = número de tiros necesarios para anotar una canasta

Como cada tiro es independiente uno de otro entonces:

p= 0.8 q = 0.2

P( Y=2 ) =q p =(0.2)*(0.8) = 0.16
P( Y=3 ) = q q p = (0.2)(0.2)(0.8)= 0.032
P( Y=4 ) = q q q p = (0.2)(0.2)(0.2)(0.8) = 0.0064
P( Y=5) =q q q q p= (0.2)(0.2)(0.2)(0.2)(0.8)= 0.00128

Por lo que se ve que tiene la forma: 

P( Y=n) = q^(n-1) p 

o como se puede ver en la sig. imagen

Puedes descargar el archivo de excel en el cual le das a un valor a la variable "p" para observar su comportamiento:

http://www.megaupload.com/?d=HM35LNXD 

Para resolverlo con el software R se utiliza el siguiente comando 

>dgeom(x, prob, log = FALSE)

con parámetros:

x=numero de fallos antes del primer éxito.

prob= probabilidad de que ocurra el éxito.

Los parámetros del problema son:

prob=0.8

Y=2,3,4,5

Obsérvese que Y = número de tiros necesarios para anotar una canasta , como X es el numero de fallos antes del primer éxito:

 X=Y-1 entonces:

X=1,2,3,4

En el parámetro x se puede poner  “1:4” el cual indica que nos de la probabilidad de 1,2,3 y 4  como un vector .

Ejecutándolo nos da lo siguiente:

> dgeom(1:4,.8)

[1] 0.16000 0.03200 0.00640 0.00128

Esto significa:

P(y=2)=P( x=1) = 0.16000

P(y=3)=P( x=2) = 0.32000

P(y=4)=P( x=3) = 0.064000

P(y=5)=P( x=4) = 0.00128

Nota: Como ya se avía mencionado x es el número de fallos antes del primer éxito y no el número de intentos para que ocurra el primer éxito

Para resolverlo con el software R (librería distr)se hace lo siguiente:


Se crea un objeto que llamaremos geome_.8 con distribución geométrica y p=.8
con el siguiente comando
> geom_.8 <- Geom(.8)


ya teninedo el objeto geom_.8 y sabiendo que x=1,2,3,4 se ejecuta el sigueinte comando


>d(Objeto)(x)


sustituyendo y ejecuntando


> d(geom_.8)(1:4)

[1] 0.16000 0.03200 0.00640 0.00128

Esto significa:

P(y=2)=P( x=1) = 0.16000

P(y=3)=P( x=2) = 0.32000

P(y=4)=P( x=3) = 0.064000

P(y=5)=P( x=4) = 0.00128