DISTRIBUCIÓN MULTINOMINAL

En el siguiente artículo se presenta una introducción a la distribución multinomial, se trata la distribución de un vector aleatorio de frecuencias, la relación entre la distribución multinomial y la distribución binomial, esperanza, varianza.

Considere una población con  artículos pertenecientes a k categorías distintas. Supóngase que se extrae un artículo de dicha población, y se quiere ver qué tipo es. Podemos modelar lo anterior por una variable aleatoria X que indica a que categoría pertenece el articulo. Llamemos y1,…,yk a las distintas categorías. Entonces X toma valores en el conjunto {y1,…,yk}, y definimos las probabilidades de pi=P(X=yi). Es claro que

Supóngase ahora que se toma una muestra aleatoria de tamaño n, definamos el vector aleatorio  ,….,   que indica en cada componente i-esima la frecuencia de ocurrencia del tipo y1  en la muestra aleatoria. Entonces la distribución   es multinomial con parámetros n y =(p1 ,….,pk ).

 Con

 

Esta distribución proviene de las partes de las probabilidades y  el coeficiente que acompaña, asociado a que llamaremos

La parte de la probabilidad es fácil, es convencerse que la probabilidad de una configuración  objeto de  tipos yk …nk objetos del tipo yk es

La siguiente parte corresponde a ver la cantidad de las configuraciones anteriores posibles para ellos definimos

a1={numero de formas a elegir n1 art de tipo y1 entre los  n disponibles}

 

a2={numero de formas de elegir n2 art de tipo y2 entre los n-n1 restantes disponibles}

 

ak-1={numero de formas de elegir nk art  yk entre los n-n1-…-nk-2-nk-1=nk disponibles}

 

Así se tiene de que a(n1,….,nk)=a1….ak y desarrollando la expresión de la derecha se obtiene el coeficiente multinomial.

Esperanza

  
Varianza

 

Covarianza

Como ya se vio, Ni+Nj~Binom(n,pi+pj) por lo que:

 

Función generadora de momentos:

 

Demostrando la F.G.M.: